Парабола

Окрім того, що парабола є графіком квадратичної функції, вона має елегантне геометричне означення, яке пояснює її появу в оптиці, інженерії та фізиці.

Геометричне означення

📐Визначення — Парабола

Парабола — це множина всіх точок площини, рівновіддалених від фіксованої точки, яка називається фокусом $F$ , та фіксованої прямої, яка називається директрисою $\ell$ .

Для будь-якої точки $P$ на параболі: $\text{dist}(P, F) = \text{dist}(P, \ell)$ .

Вершина — це точка параболи, найближча до директриси. Вона лежить рівно посередині між фокусом та директрисою.

Стандартний вигляд (вертикальна вісь)

⚡Теорема — Стандартні рівняння параболи

Парабола з вершиною в початку координат та вертикальною віссю симетрії має рівняння:

$x^2 = 4py$

Фокус: $(0, p)$
Директриса: $y = -p$
$p > 0$ : відкривається вгору; $p < 0$ : відкривається вниз

Еквівалентно, розв’язуючи відносно $y$ : $y = \dfrac{1}{4p}x^2$ . Порівнюючи з $y = ax^2$ , отримуємо $a = \dfrac{1}{4p}$ , звідки:

$p = \frac{1}{4a}$

Це пов’язує алгебраїчний коефіцієнт $a$ безпосередньо з геометричним параметром $p$ .

Розв’язані приклади

✎Приклад — Від рівняння до фокуса

Для $y = 2x^2$ знайдіть фокус та директрису.

Розв’язання. Тут $a = 2$ , тому:

$p = \frac{1}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8}$

Фокус: $\left(0, \dfrac{1}{8}\right)$
Директриса: $y = -\dfrac{1}{8}$

✎Приклад — Зі стандартного вигляду

Запишіть $x^2 = 12y$ у вигляді фокус-директриса.

Розв’язання. $4p = 12$ , тому $p = 3$ .

Фокус: $(0, 3)$
Директриса: $y = -3$

Парабола відкривається вгору, оскільки $p > 0$ .

Горизонтальна парабола

Парабола також може відкриватися вліво або вправо. Стандартний вигляд із горизонтальною віссю:

$y^2 = 4px$

Фокус у точці $(p, 0)$ , директриса $x = -p$ .
$p > 0$ : відкривається вправо; $p < 0$ : відкривається вліво.

Відбивна властивість

Чудова властивість параболи: будь-який промінь, що рухається паралельно до осі симетрії, відбивається від параболи та проходить через фокус. І навпаки: світло, що виходить з фокуса, відбивається від параболи паралельним пучком.

Цей принцип використовується в:

Супутникових антенах та радіотелескопах — вхідні паралельні сигнали концентруються у фокусі.
Автомобільних фарах — лампочка у фокусі створює паралельний пучок.
Сонячних колекторах — сонячне світло фокусується в одній точці для генерації тепла.

✏Вправа

Знайдіть фокус та директрису для $y = \dfrac{x^2}{4}$ . Підказка: запишіть у вигляді $x^2 = 4py$ .